Aplikace lineární termodynamiky - optimální režimy v biologických systémech

Lineární nerovnovážná termodynamika nachází svoji aplikaci také při popisu procesů přeměny energie v biologických systémech. Význam systémů optimálních z hlediska některých termodynamických veličin (výkon, produkce entropie) byl široce analyzován pro několik energii transformujících systémů (např. pro stroje využívající energii sluneční, jadernou či tepelnou, nebo pro chladící stroje). Pokud jde o biologické procesy, optimální výkonové režimy byly studovány několika vědci, často právě v aproximaci lineárních termodynamických procesů.

Prigogine využíval princip minimální produkce entropie. Odum a Pinkerton analyzovali maximální výstupní výkon systémů pro různé fyzikální a biologické systémy. Caplan a Essig vyvinuli teorii, založenou na lineární nerovnovážné termodynamice, pro studium lineárních konvertorů energie pracujících ve stacionárních stavech, kde (kromě zatím běžně používané produkce entropie) zavedli definice výstupního výkonu a účinnosti, jako funkce zobecněných termodynamických sil. Tuto teorii úspěšně použil Stucki při studiu oxidační fosforylace, za předpokladu linearity tohoto procesu, který byl testovaný též experimentálně. Ve své práci Stucki analyzuje - s pomocí Caplanových a Essigových definic výstupního výkonu a účinnosti - jiné optimální režimy pracujících systémů, než pouze minimální produkci entropie používanou Prigoginem. Torres a Angulo-Brown a kol. studovali model ATPsyntézy, uskutečnitelný v blízkosti stavu s maximálním výkonem a model, který reprezentuje kompromis mezi vysokým výstupním výkonem a nízkou produkcí entropie. Podle Maddoxe pro biologické systémy představuje vysoký stupeň výkonnosti v darwinovském slova smyslu nejen vysoký výstupní výkon, ale také vysokou účinnost, nízkou produkci entropie a navíc nízkou spotřebu energie (viz literatura konec stránky).

Lineární termodynamika a optimální režimy
Největší zájem v nerovnovážné termodynamice vzbuzují stacionární stavy, které jsou charakterizované časově konstantními termodynamickými stavovými veličinami i v případě, že nejsou homogenní  uvnitř celého systému. Tato nehomogenita (představující určitou složitost systému v jeho uspořádání) je zajištěna přítomností toků látky, energie, náboje a dalších veličin.
Uvažujme trvale stacionární systém, sestávající se z dvou spojených procesů se zobecněnými toky J1, J2 a jim odpovídajícími zobecněnými silami
X1 , X2. Produkce entropie je dána vztahem:
                                                                                                                                                                             (1) 
Pokud v systému dochází k  přeměně energie, jeden ze dvou spojených procesů se nemůže  vyskytovat samovolně (budeme ho nazývat proces řízený), zatímco druhý je spontánní (budeme ho nazývat proces řídící). Bez ztráty na obecnosti, můžeme vybrat jako proces řízený, a nechť je procesem  řídícím, tedy spontánním. Zřejmě platí ,
v souladu s druhým termodynamickým zákonem.
Pro existenci stacionárního stavu budeme uvažovat řídící sílu X2 konstantní. Ačkoli stacionární stavy můžeme také  získat nastavením J2 nebo J2X2 konstantními,  neměnnost X2 se zdá být případem mnoha biologických systémů. Caplan a Essig zavedli definice výstupního výkonu P a účinnosti η pro konvertory energie  dosahující rovnováhy při konstantním tlaku a teplotě T následujícím způsobem:
                                                                                                                                                                                         (2)
                                                                                                    .                                                                                   (3)  
 Ideální systémy pak můžeme popsat optimalizační funkcí takto definovaných veličin σ, P, η, kde je maximalizován výstupní výkon a minimalizována produkce entropie. Jsou uváděna ještě další kritéria např. nízká spotřeba energie. Vhodný kompromis mezi vysokým výstupním výkonem a nízkou produkcí entropie je ekologický režim, který je definován snahou maximalizovat ekologickou funkci E definovanou jako:
                                                                                                                                                                                         (4)  

Ačkoli ekologický režim představuje dobrý kompromis mezi vysokým výstupní výkonem a nízkou  produkcí entropie, při analýze výkonových režimů některých biologických procesů se neomezujeme pouze na konstatování případné podobnosti s ekologickým režimem, ale je vhodné též diskutovat optimální oblast vzhledem k platnosti maximálního výkonu (MPO, maximum output power) a  minimální produkce entropie (MEP, minimum entropy production).
Zda-li nějaké biologické systémy můžeme považovat za lineární konvertory je velmi diskutabilní. Neexistuje žádné obecné kritérium a je nutné diskutovat linearitu (a tedy použitelnost vztahů lineární termodynamiky) pro každý biologický systém zvlášť. Pro lineární konvertory energie pak platí fenomenologické vztahy:   
                                                                                        i = 1,2                                                                   (5)
s konstantními koeficienty Lij, pro něž platí Onsagerovy relace reciprocity, které stanovují souměrnost matice fenomenologických koeficientů  Lij = Lji. Použitím Onsagerových relací reciprocity upravíme předchozí vztahy a dostaneme:
                                                                                  ,                                                        (6)
                                                        ,                                                                                (7)
                                                                                 ,                                                                                              (8)
                                                          ,                                      (9)
kde  je koeficient, který určí stupeň vazby mezi řízenými a řídícími procesy,  a  je řízená síla, ve které je J1 = 0.

  Uplatnění MEP provedeme derivováním podle x a výsledek položíme roven 0 (určíme extrém tj.minimum). Získáme tak režim
pro x = 1, ze kterého vyplývá že   a že . V tomto případě produkce entropie, výstupní výkon, a účinnost jsou dány:
 (10)                                      (11)                                                                (12)

  Podobným způsobem uplatníme MPO, získáme režim pro x =  0,5. Dosazením dostaneme následující hodnoty produkce entropie, výstupního výkonu a účinnosti:
   (13)                             (14)                               (15)  
  Podle očekávání má tento režim pozitivní výstupní výkon a produkuje více entropie než MEP režim.

Jak vyplývá z (9) E funkce bude maximální v případě x = 0,75. Dosazením do rovnic pro produkci entropie, výstupní výkon a účinnost  v případě ekologického režimu dostáváme:
  (16)                         (17)                                      (18)

Na následujícím obrázku jsou grafy produkce entropie, výstupního výkonu, a efektivity jako funkce q pro MEP, MPO, a ekologický režim. Všimněme si, že když procesy nejsou spojené vůbec (q = 0), režimy jsou úplně ekvivalentní, tj.mají stejný výstupní výkon P = 0, stejnou účinnost η = 0   a také stejnou produkci entropie.

         

Grafy a) produkce entropie, b) výstupní výkon, a c) účinnosti jako funkce  pro tři studovaná kritéria. Plná čára odpovídá MEP režimu, přerušovaná čára  MPO režimu, a čerchovaná čára ekologickému režimu. Svislá osa u grafu a) je v jednotkách  , zatímco odpovídající osa u grafu b) v jednotkách . Všimněme si, že účinnost pro MPO a ekologický režimy jsou velmi podobné až do , kdy se od sebe rychle vzdalují.
 
Na obr. a) můžeme vidět ve všech případech, že produkce entropie se snižuje se zvyšujícím se, a dosahuje optimální (tj.minimální) hodnoty při . V případě MEP režimu tato optimální hodnota odpovídá nule, dosažený stacionární stav je rovnovážný, zatímco pro MPO a ekologický režim optimální hodnota koresponduje s .
Z obr.b) vyplývá že výstupní výkon MPO a ekologického režimu jsou rostoucí funkcí , a to  pro všechny hodnoty  různé od nuly.
Nakonec, obr. c) ukazuje, že účinnost MPO a ekologického režimu se zvyšuje s  až do , kde dosáhnou hodnoty v pořadí a .
Z toho vyplývá, že všechny tři veličiny jsou optimální, pokud , jinými slovy, systém  s touto hodnotou je velmi výhodný modus operandi z termodynamického hlediska.

Glykolýza a dýchání
Při použití výsledků z předchozí části ve studiu biologického systému, musíme nejdříve ověřit, zda systém splňuje všechny následující předpoklady:
– systém je trvale nerovnovážný, probíhají v něm dva spojené procesy charakterizované zobecněnými toky J1, J2 a  zobecněnými silami X1, X2,
– zobecněná síla řídícího procesu X2 je konstantní,
– vztahy mezi toky a silami jsou lineární.

Jako příklad biologického systému probereme nyní syntézu ATP anaerobní glykolýzou a dýcháním. Předpokládejme glykolýzu jako lineárně termodynamický proces z hlediska její celkové energetické bilance.

                                                                                                     (19)
                                                                   (20)

První rovnice představuje anaerobní glykolýzu. Druhá rovnice představuje souhrnou bilanci aerobní glykolýzy, citrátového cyklu a dýchacího řetězce.
Přeměny komponent označených v obou reakcí složenými závorkami jsou procesy řídící. Přeměny komponent označených v obou reakcích kulatými závorkami jsou procesy řízené. Pro tento systém můžeme pak zobecněné toky a síly  vyjádřit tímto způsobem:
                                                                                                          ,                                                               (21a,b)          
                                                                                         ,                                                           (22a,b)             
kde v1 a v2 jsou reakční rychlosti procesu řízeného a řídícího, ,  změny molární Gibbsovy energie odpovídajících reakcí, a T je termodynamická teplota. Jestliže řídící reakce je spontánní a řízená reakce není spontánní, změny volné energie jsou u řízené přeměny, u řídící přeměny.
Pak z je a , v souladu se znaménky příspěvků do celkové produkce entropie, platné pro řízený a řídící proces. Vzhledem k tomu, že jsou reakce propojené, jejich rychlosti by měly být stejné:
                                                                                          .                                                                                      (23)                
Z tohoto faktu a ze vzorců pro produkci entropie, výstupní výkon, a účinnost dostáváme:
  (24)                                                    (25)                                                     .  (26)                                                                
Přičemž  reakční rychlost v může být přibližně:
                                                                                                   ,  
kde  je maximální reakce v přímém směru, b je kladná konstanta zohledňující enzymatické pochody, a R univerzální plynová konstanta. Vztah stanovuje nejen to, že vztahy mezi toky a silami jsou lineární, ale že fenomenologické  koeficienty jsou .   Výše uvedené tvrzení naznačuje, že posuzované systémy jsou lineární měniče energie.

Za předpokladu využití výsledků z předchozí části, stačí jen zajistit konstantnost řídící síly. Tento fakt vychází z experimentálních výsledků Sacktora a kol.

Rozbor režimů ukazuje, že koeficient vazby je podobný, jestliže zkoumané reakce jsou uskutečněné režimy blízkými MPO nebo ekologickému režimu.

Experimentálně byly zjištěny účinnosti dýchání  a anaerobní glykolýzy . Pokud je porovnáme s výše uvedenými hodnotami  pro MPO režim a   pro ekologický režim, můžeme říci, že ATP syntéza anaerobní glykolýzou pracuje  blízko MPO režimu a dýchání pracuje blízko ekologického režimu.

Svalová  kontrakce
Další biologický konvertor (měnič) energie, který byl zkoumán touto metodou je svalová kontrakce, při které dochází k přeměně chemické energie z ATP v energii mechanickou. Abychom sval mohli považovat za lineární konvertor, musí být splněny výše uvedené požadavky:
a) sval pracuje ve stacionární stavu spojením dvou procesů, řízeného a řídícího (spontánního), přičemž u obou mohou být určeny odpovídající toky a síly;
b) síla řídícího procesu je konstantní;
c) vztahy mezi toky a silami jsou lineární.

  Svalová kontrakce vzniká spojením mechanického pohybu (řízený proces) a chemické reakce (ATP hydrolýza, jako procesu řídícího). Pak síla řídícího procesu je úměrná změně Gibbsovy volné energie hydrolýzy ATP, tok řídícího procesu je reakční rychlost, řízená síla je úměrná mechanické síle, a řízený tok odpovídá rychlosti kontrakce.
  Ačkoliv proces svalové kontrakce zřejmě neodpovídá přesně všem výše zmíněným požadavkům, mohou poznatky získané pomocí postupů platných pro lineární konvertory energie vysvětlit, přinejmenším kvalitativně, některá empirická pozorování publikovaná několika autory. Pokud bychom sval považovali za lineární konvertor energie, MEP režim by požadoval, aby jeho rychlost kontrakce byla nulová. Tento režim ve skutečnosti existuje a je nazývaný izometrická kontrakce. V tomto režimu sval produkuje nejmenší množství tepla a tedy nejmenší množství entropie.

Na existenci různých režimů svalové kontrakce poukazovalo několik autorů. Můžeme udat tři různé příklady pracujících režimů svalové kontrakce:
1) křídlový sval hmyzu, schopný vysoké frekvence kontrakcí;
2) srdeční sval zajišťující pomalé, ale pravidelné svalové kontrakce;
3) svěrač (adduktor) lastur mlžů, který trvalou kontrakcí udržuje lastury při sobě po dobu několika hodin.
Přičemž samozřejmě všechny fungují na základě aktinomyosinového mechanizmu. Na základě předešlých úvah již můžeme odhadnout, že  první případ by odpovídal MPO režimu, druhý ekologickému režimu, třetí případ by mohl odpovídat MEP režimu.

Alpert a kol. ukazuje, že želví a krysí lýtkové svaly, které jsou pomalé, vykonávají pohyb s vysokou ekonomikou a malým výkonem, pracují v ekologickém režimu. Krysí sval extensor digitorum longus (dlouhý natahovač prstů), který je rychlý s nízkou ekonomiku a má vysoký výstupní výkon, pracuje v MPO režimu.
Hill uvádí, že každý sval má dvě optimální tempa rychlostí: „jeden rytmus pro maximální účinnost a druhý pro maximální výkon“.  Vzhledem k tomu, že nejvyšší účinnost je dosažená v rovnováze , můžeme uvažovat pouze režimy s účinností nižší, která odpovídá ekologickému režimu .
Velmi podnětná pro optimalizační postup byla experimentální data publikovaná Volkensteinem. Jím změřené účinnosti dlouhého stehenního svalu (m. sartorius, sval krejčovský) žáby a svalů želvy jsou postupně kolem 0,5 a 0,75. Jiná data, publikovaná Woledgem, představují grafy závislosti η na F, kde F je svalové napětí, s maximálními hodnotami účinností a  postupně pro žabí a želví svaly. Nabízí se interpretace, že žabí sval pracuje v režimu blízko MPO, zatímco želví sval pracuje v blízkosti ekologického režimu. Volba režimu závisí na potřebách nebo evoluční výhodách, které se mohou lišit mezi jednotlivými druhy. Z tohoto pohledu svaly žáby a želvy jsou různé, podle různých kompromisů dosažených mezi výstupním výkonem a ekonomickou stránkou svalové kontrakce.

Porovnání jednotlivých režimů
  - MEP režim (Prigoginův princip), je jedno z optimálních kritérií, které by mohlo být upřednostňováno přírodou. Má výhodu velmi malé produkce entropie, jinými slovy, velmi malou disipaci energie. Nicméně nemá žádný výstupní výkon a pro různé aplikace by tento režim mohl být zbytečný. Při zajištění nenulového výstupního výkonu, je nutné produkovat více entropie.
  - MPO režim produkuje mnoho entropie, ale jeho účinnost je v nejlepším případě pouze 0,5.
  - Ekologický režim s trochu menším výstupním výkonem a vysoce redukovanou produkcí entropie je popsán funkcí E. Maximální hodnota E uspokojí nejen tyto požadavky (, ), ale může také zvětšit účinnost až na 0,75 a snížit spotřebovanou energii vzhledem k MPO režimu na polovinu (). Podobné závěry mohou být vyjádřené pro ATP syntézu glykolýzou a dýcháním. Dalším příkladem může být celková účinnost zjištěná při fotosyntéze vyšších rostlin, která je přibližně 0,75.
To znamená, že i tento biologický konvertor energie pracuje v ekologickém režimu.

Zpracováno podle:
Caplan S.R., Essig A.: Bioenergetics and Linear Nonequilibrium Thermodynamics, Harvard University Press, Cambridge 1983.
Duršpek J.: Moderní termodynamika v chemických a biologických procesech, Plzeň 2005.
Krempaský J.: Synergetika, VSAV, Bratislava 1988.
Prigogine I.: Thermodynamic of Irreversible Processes, John Wiley and Sons, New York 1961.
Prigogine I., Kondepudi D.: Modern Thermodynamics, John Wiley & Sons, Chichester 1998.
Santillián M., Arias-Hernandéz L.A., Angulo-Brown F.: Some optimization criteria for biological systéme in linear irreversible thermodynamics, Il nuovo   cimento vol. 19, Gennaio 1997.
Stucki J. W.: Eur. J. Biochem., 109, 1980.